Zahlen

Zahlensysteme

Zahlensysteme regeln die Darstellung von Zahlen durch die Abfolge und Wertigkeit von Zahlzeichen. Es gibt Additionssysteme und Stellenwertsysteme. Bei den Additionssystemen werden die einzelnen Zeichen (bzw. deren Wert) einfach addiert. An welcher Stelle die Zeichen stehen spielt keine Rolle. Bei den Stellenwertsystemen hängt der Wert eines Zeichen von der Position in der Zahl ab.

Additionssysteme

Ein Beispiel für Additionssysteme sind die römischen Zahlen. Hier spielt es keine Rolle an welcher Stelle ein Zeichen steht, es hat immer den gleichen Wert. Nehmen wir als Beispiel das Jahr 1999 und das Jahr 2000 in römischer Schreibweise:

  MDCCCCLXXXXVIIII
= M + D + C + C + C + C + L + X + X + X + X + V + I + I + I  + I  
= 1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1  + 1  
= 1999

  MM
= M + M
= 1000 + 1000
= 2000

Der Vorteil der Additionssysteme ist die einfache Form der Erweiterung. Wenn ich zum Beispiel etwas abzählen möchte muss ich immer nur einen Strich hinzu fügen. Bei Gelegenheit kann ich Striche zu Blöcken zusammen fassen (IIIII = V, VV = X, ...). Das kennt jeder aus dem Strichsystem. Man macht Striche auf einem Zettel (oder Bierdeckel) und fasst Blöcke zusammen indem jeder fünfte Strich durch die vorherigen vier Striche gemacht wird. Ausprobieren kann man das römische Zahlensystem unter Tools: Zahlensysteme

Stellenwertsysteme

Ein Beispiel für ein Stellenwertsystem ist unser Dezimalsystem. Hier hängt der Wert eines Zeichens von der Stelle ab an der es steht. Nehmen wir als Beispiel die Jahre 1999 und 2000 in dezimaler Schreibweise:

  1999
= 1*10³ + 9*10² + 9*10¹ + 9*10⁰ 
= 1*1000 + 9*100 + 9*10 + 9*1 
= 1000 + 900 + 90 + 9 
= 1999

  2000
= 2*10³ + 0*10² + 0*10¹ + 0*10⁰ 
= 2*1000 + 0*100 + 0*10 + 0*1 
= 2000 + 0 + 0 + 0 
= 2000

Der Vorteil der Stellenwertsysteme liegt im geringeren Platzbedarf. Im Dezimalsystem kann ich mit einer Stelle die Zahlen von 0-9 abbilden, mit zwei Stellen von 0-99 und mit drei Stellen schon von 0-999 und so weiter. Die Anzahl der darstellbaren Zahlen erhöht sich also logarithmisch (mit jeder weiteren Stelle um das 10-fache). Außerdem hat in den Stellenwertsystemen jede Stelle einen festen Wert und jedes Zahlzeichen an dieser Stelle somit einen festen Faktor. Mit den Stellenwertsystemen können daher auch komplexe Berechnungen durchgeführt werden.

Entwicklung eigener Zahlensysteme

Additionssystem

Ein eigenes Additionssystem zu entwicklen ist recht einfach. Nehmen wir das römische System als Vorbild, und fügen einige Zeichen hinzu. Zum Beispiel Soll das "W" von nun an für 5000 stehen, und das "Z" für 10.000. Man könnte ebenso gut ganz neue Zeichen für das System verwenden, zum Beispiel germanische Runen oder Symbole die man sich selber ausdenkt und die aus sich kreuzenden Strichen bestehen. Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt.

Stellenwertsystem

Ein eigenes Stellenwertsystem zu entwerfen ist weniger kreativ und mehr mit Rechnen verbunden. In den Stellenwertsystemen wird grundsätzlich mit einer Basis gerechnet, im Dezimalsystem ist das die Basis 10. Nun wird die Stelle die ganz rechts steht mit dem Wert 10⁰ (=1) errechnet. Die Stelle links daneben mit 10¹ (=10), links daneben mit 10² (=100) und so weiter. Daher im Dezimalsystem die 10'er Stellen, 100'er Stellen und so weiter. Man erkennt die Abfolge in den Beispielen zu den Stellenwertsystemen weiter unten. Was man ebenso gut erkennt: im Dezimalsystem kann man mit einer Stelle 10 verschiedene Werte abbilden. Da aber die 0 mit zählt, kann man nur von 0-9 zählen. Für die 10 braucht man schon zwei Stellen, weil wir eine 1 auf der 10'er-Stelle brauchen..

Um ein eigenes Stellenwertsystem zu entwerfen muss man lediglich eine Basis auswählen. Sollte diese Basis größer als 10 sein, muss man sich entweder komplett neue Zahlzeichen überlegen (wie beim Additionssystem) oder, wenn man die bekannten Zahlen weiter verwenden will, zumindest für alles von 9 bis zur eigenen Basis. Man sieht das gut am Hexadezimalen Zahlensystem, hier ist die Basis 16. Demzufolge kann man mit der ersten Stelle (16⁰ = 1) aber schon bis 15 zählen. Um das Problem der Darstellung zu lösen hat man einfach folgendes definiert: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15. So kann man mit 0-9 und A-F im hexadezimalen System mit einer Stelle bis 15 zählen.

Als Beispiel für ein erfundenes Zahlensystem nehmen wir die Basis 32. Als Zeichen verwenden wir 0-9 und A-W mit A=10, B=11, ... V=31, W=32. Damit können wir in diesem Zahlensystem mit einer Stelle von 0 bis 31 zählen. Die Dezimale 32 wäre in unserem erfundenen Zahlensystem eine 10 (1*32¹ + 0*32⁰ = 1*32 + 0*1 = 32). Unsere Beispiele mit den Jahren 1999 und 2000 stellen sich dann wie folgt dar:

  1UF
= 1*32² + (U=30)*32¹ + (F=15)*32⁰
= 1*1024 + 30*32 + 15*1
= 1024 + 960 + 15
= 1999

  1UG
= 1*32² + (U=30)*32¹ + (G=16)*32⁰
= 1*1024 + 30*32 + 16*1
= 1024 + 960 + 16
= 2000

Wer das Zahlensystem mit der Basis 32 testen möchte kann dies tun unter Tools: Zahlensysteme.

Beispiele für bekannte Additionssysteme

Beispiele für bekannte Stellenwertsysteme

Binäres Zahlensystem (2^x)

Octales Zahlensystem (8^x)

Dezimales Zahlensystem (10^x)

Hexadezimales Zahlensystem (16^x)

Zahlenbereiche

Natürliche Zahlen

0, 1, 2, 3, ... . Symbol N (ℕ). Oft wird die Null mitgezählt. DIN unterteilt in positive ganze Zahlen (ohne Null) und nichtnegative ganze Zahlen (mit Null)

Ganze Zahlen

... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Symbol Z für Zahl (ℤ). Positive und negative natürliche Zahlen und Null. Also alle natürlichen Zahlen und ihre negativen pendants.

Rationale Zahlen

Reelle Zahlen, die als Bruch aus ganzen Zahlen dargestellt werden können. Symbol Q für Quotient (ℚ). Lateinisch ratio für Verhältnis.

Irrationale Zahlen

Reelle Zahlen, die nicht als Bruch aus ganzen Zahlen darstellbar sind. Zum Beispiel Pi.

Reelle Zahlen

Alles. Mit beliebigen Nachkommastellen. Symbol R (ℝ).

Komplexe Zahlen

Symbol C (ℂ). Durch Einführung der imaginären Einheit i mit i^2 = -1 werden Gleichungen der Art x^2 + 1 = 0 lösbar. Imaginäre Zahlen sind alle Zahlen, deren Quadrat eine negative reelle Zahl ergibt. Darstellung komplexer Zahlen meist a + b * i, wobei i^2 stets durch -1 ersetzt werden kann, und umgekehrt.